Dérivation

Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications. Ils permettent, entre autres :

· de déterminer les variations d’une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles ;

· de déterminer ses extrema locaux éventuels ;

· de faire des approximations affines à l’aide de la notion de tangente ;

· de calculer certaines limites ; etc.

1. Qu’est-ce que la dérivée ? Que représente-t-elle ?

Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f’(a) :

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a appartenant à I et on appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout , associe le réel f’(x).

2. Quelles sont les formules de dérivées à connaître ?

À part les formules de dérivées d’une fonction logarithme et d’une fonction exponentielle (voir les thèmes correspondants), seules les formules suivantes sont indispensables à connaître :

où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle de et et deux réels quelconques.

3. Comment déduit-on des formules précédentes les autres formules de dérivation ?

Sachant que et que , il est possible de déterminer les dérivées du type et à l’aide de la dérivée de donnée dans le paragraphe 2.

De même, on sait que pour , où , On peut déduire, à l’aide des formules de dérivées d’une fonction composée et des fonctions sinus et cosinus, toutes dérivées de fonctions tangente.

On retiendra que et donc que

4. Quelle est l’équation de la tangente à une courbe en un point où la fonction est dérivable ?

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de et , alors le nombre dérivé de f en a, égal à et noté f’(a), est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C de f au point 

Ainsi, une équation de T est : y = f’(a)(x – a) + f(a).

5. Comment détermine-t-on le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle ?

On utilise le théorème ci-dessous :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de On note f ’ sa dérivée sur I :

· si f’ = 0 sur I, alors f est constante sur I ;

· si f’ > 0 (respectivement f’ < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f’ = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.

Ce théorème permet également de déterminer les extrema locaux (maxima et minima locaux) éventuels d’une fonction sur un intervalle donné ;  le tableau de variation les met clairement en évidence.

À retenir

Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a :

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de et a appartient à I, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a))

Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction :

· si f’ = 0 sur I, alors f est constante sur I ;

· si f’ > 0 (respectivement f’ < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f’ = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.